Понедельник, 26.08.2019, 03:10

МКОУ средняя общеобразовательная школа №3

Меню сайта
Календарь
«  Август 2019  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0

Текстовые задачи

Почему текстовые задачи В13 относятся к простым?
Во-первых, все задачи В13 из банка заданий ФИПИ решаются по единому алгоритму, о котором мы вам расскажем. Во-вторых, все В13 однотипны — это задачи на движение или на работу. Главное — знать к ним подход.

Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. А если даже вы забыли формулу для дискриминанта — не беда, напомним.

Но прежде чем перейти к самим задачам — проверьте себя.

Запишите в виде математического выражения:

  1. x на 5 больше y
  2. x в пять раз больше y
  3. z на 8 меньше, чем x
  4. z меньше x в 3,5 раза
  5. t1 на 1 меньше, чем t2
  6. частное от деления a на b в полтора раза больше b
  7. квадрат суммы x и y равен 7
  8. x составляет 60 процентов от y
  9. m больше n на 15 процентов

Пока не напишете — в ответы не подглядывайте! :-)

Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах 7 и 8. Из года в год мы, репетиторы, наблюдаем парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что «x на 5 больше y». А в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы :-)

Итак, правильные ответы:

  1. х = у+5
    х больше, чем у. Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить бóльшую величину, надо к меньшей прибавить разницу.
  2. х = 5у
    х больше, чем у, в пять раз. Значит, если у умножить на 5, получим х.
  3. z = х-5
    z меньше, чем х. Разница между ними равна 8. Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу.
  4. z = х:3,5
  5. t1 = t2 - 1
    t1 меньше, чем t2. Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.
  6. а:b = 1,5b
  7. (х+у)^2 = 7
    На всякий случай повторим терминологию:
    Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых.
    Разность — результат вычитания.
    Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей.
    Частное — результат деления чисел.
  8. х = 0,6у
    Мы помним, что 60%у = (60/100) * y = 0,6у.
  9. m = 1,15n
    Если n принять за 100%, то m на 15 процентов больше, то есть m = 115%n = 1,15n.

Теперь — сами задания В13.

Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:

  1. Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: S = v*t, то есть расстояние = скорость * время. Из этой формулы можно выразить скорость v = S/t или время t = S/V.
  2. В качестве переменной х удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.


12. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за x? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на 40 километров больше, значит, его скорость равна x+40.

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по 50 км. Можно внести скорость — она равна x и x+40 для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: t = S/V. Для велосипедиста получим t1 = 50/x, для автомобилиста t2 = (50/x)+40.
Эти данные тоже запишем в таблицу.
Вот что получится:


v t S
велосипедист x t1 = 50/x 50
автомобилист x+40 t2 = (50/x)+40 50

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на 4 часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что t1 на четыре больше, чем t2, то есть

t2 + 4 = t1

(50/(x+40)) + 4 = 50/x

Решаем уравнение.

(50/x) - (50/(x+40)) = 4

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.

Первую дробь домножим на x+4, вторую — на x.

Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение...), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. Бесполезно говорить учительнице: «Я не понимаю математику» — это слишком абстрактно и не располагает к ответу. Учительница может ответить, например, что она вам сочувствует. Или, наоборот, даст какую-либо характеристику вашей личности. И то и другое неконструктивно.
А вот если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к одному знаменателю» или «Как раскрывать скобки» — вы получите нужный вам конкретный ответ. Вам ведь необходимо в этом разобраться! Если педагог занят, договоритесь о времени, когда вы можете с ним (или с ней) встретиться, чтобы получить консультацию. Используйте ресурсы, которые у вас под рукой!

Получим:

(50(х+40) - 50х) / x(x+40) = 4

(50х + 2000 - 50х) / x(x+40) = 4

2000 / x(x+40) = 4

Разделим обе части нашего уравнения на 4. В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.

500 / x(x+40) = 1

Умножим обе части уравнения на х(х+40). Получим:

х(х+40) = 500

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:

х^2 + 40х = 500

х^2 + 40х - 500 = 0

Мы получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида ax^2 + bx + c = 0. Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле D = b2 - 4ac, затем корни по формуле х1,2 = (-b +- корень из D)/2a.

В нашем уравнении a=1,   b=40,   c=-500.

Найдем дискриминант D = 1600 + 2000 = 3600 и корни:

x1 = 10, x2 = -50.

Ясно, что x2 не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.

Ответ: 10.

Следующая задача — тоже про велосипедиста.


13. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна x. Тогда его скорость на обратном пути равна x+3. Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — 70 километров. Осталось записать время. Поскольку t = S/V, на путь из А в В велосипедист затратит время t1 = 70/x, а на обратный путь время t2 = 70/(x+3).

v t S
туда х t1 = 70/x 70
обратно х+3 t2 = 70/(x+3) 70

На обратном пути велосипедист сделал остановку на 3 часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из А в В. Это значит, что на обратном пути он крутил педали на 3 часа меньше.

Значит, t2 на три меньше, чем t1. Получается уравнение:

(70/(x+3)) + 3 = 70/x

Оно очень похоже на предыдущее. Сгруппируем слагаемые:

70/x - (70/(x+3)) = 3

Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:

(70(x+3) - 70x)/x(x+3) = 3

(70*3)/(x(x+3)) = 3

Разделим обе части уравнения на 3.

70/(x(x+3)) = 1

Напомним — если вам непонятны какие-либо действия при решении уравнений, обращайтесь к учительнице! Показывайте конкретную строчку в решении задачи и говорите: «Пожалуйста, объясните, как это делать». Для нее такое объяснение — дело пятнадцати минут, а вы наконец научитесь решать уравнения, что очень важно для сдачи ЕГЭ по математике.

Умножим обе части уравнения на x(x+3), раскроем скобки и соберем все в левой части.

x^2 + 3x - 70 = 0

Находим дискриминант. Он равен 9+4*70 = 289.

Найдем корни уравнения:

x1 = 7. Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ x2 = -10 не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: 7.

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.

Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.


14. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна x.

Тогда скорость движения моторки по течению равна x+1, а скорость, с которой она движется против течения x-1.

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 255 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению t1 = 255/(x+1), при движении против течения t2 = 255/(x-1), причем t2 на два часа больше, чем t1.


v t S
по течению x+1 t1 = 255/(x+1) 255
против течения x-1 t2 = 255/(x-1) 255

Условие «t2 на два часа меньше, чем t1» можно записать в виде

t2+2 = t1

Составляем уравнение:

255/(x-1) + 2 = 255/(x+1)

и решаем его.

255/(x+1) - 255/(x-1) = 2

Приводим дроби в левой части к одному знаменателю

( ( 255(х+1) - 255(х-1) ) / (x-1)(x+1) ) = 2

Раскрываем скобки

510/(x^2-1) = 2

Делим обе части на 2, чтобы упростить уравнение

255/(x^2-1) = 1

Умножаем обе части уравнения на x^2-1

x^2-1 = 255

x^2 = 256.

Вообще-то это уравнение имеет два корня: x1=16   и   x2=-16   (оба этих числа при возведении в квадрат дают 256). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: 16.


15. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Снова обозначим за x скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна 15+x, скорость его движения против течения равна 15-x. Расстояния — и туда, и обратно — равны 200 км.

Теперь графа «время».

Поскольку t = S/V, время t1 движения теплохода по течению равно 200/(15+х), а время t2, которое теплоход затратил на движение против течения, равно 200/(15-х).


v t S
по течению x+15 200/(15+х) 200
против течения 15-x 200/(15-х) 200

В пункт отправления теплоход вернулся через 40 часов после отплытия из него. Стоянка длилась 10 часов, следовательно, 30 часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.

Значит, t1+t2 = 30

200/(15+х) + 200/(15-х) = 30

Прежде всего разделим обе части уравнения на 10. Оно станет проще!

20/(15+х) + 20/(15-х) = 3

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на 225-x^2, получаем квадратное уравнение x^2=25. Поскольку скорость течения положительна, получаем: x=5.

Ответ: 5.

Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную 300 километров в час — задача решена неверно.


16. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

Пусть скорость течения равна x. Тогда по течению баржа плывет со скоростью 7+x, а против течения со скоростью 7-x.

Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из 16 вычесть 10, а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что 1 час 20 минут придется перевести в часы: 1 час 20 минут = 11/3 часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно 42/3 часа.

v t S
по течению x+7 t1 15
против течения 7-x t2 15

t1+t2 = 42/3

Возникает вопрос — какой из пунктов, А или В, расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем! :-) Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма t1+t2, равная 15/(7+х) + 15/(7-х).

Итак,
15/(7+х) + 15/(7-х) = 4 2/3

Решим это уравнение. Число 42/3 в правой части представим в виде неправильной дроби: 42/3 = 14/3.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:

30*7 = 14/3 * (49-х^2)

Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на 14 и умножим на 3, оно станет значительно проще:

45 = 49 - x^2

x^2 = 4

Поскольку скорость течения положительна, x= 2.

Ответ: 2.

Еще один тип задач В13, встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: A = p * t. Здесь A — работа, t — время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу очень просты.

  1. A = p * t, то есть работа = производительность * время. Из этой формулы легко найти t или p.
  2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимае