Понедельник, 26.08.2019, 03:46

МКОУ средняя общеобразовательная школа №3

Меню сайта
Календарь
«  Август 2019  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0

Считаем быстро и без калькулятора

ЕГЭ без ошибок. Считаем быстро и без калькулятора


Вы хотите хорошо сдать ЕГЭ по математике? Тогда вам просто необходимо уметь считать быстро, правильно и без калькулятора. Ведь главная причина потери баллов на ЕГЭ по математике – вычислительные ошибки.

По правилам проведения ЕГЭ, пользоваться калькулятором на экзамене по математике не разрешено. За использование калькулятора или мобильного телефона может быть начислен штраф в размере от трех до десяти тысяч рублей.

На самом деле калькулятор на ЕГЭ по математике не нужен. Все задачи решаются без него. Главное – внимание, аккуратность и некоторые секретные приемы, о которых мы расскажем.


1. Начнем с главного правила. Если какое-то вычисление можно упростить – упростите его.

Вот, например, такое «дьявольское уравнение»:

666x2 + 999x - 666 = 0

Семьдесят процентов выпускников решают его «в лоб». Считают дискриминант по формуле b2 - 4ac, после чего говорят, что корень невозможно извлечь без калькулятора. Но ведь можно разделить левую и правую части уравнения на 333. Получится
2x2 + 3x - 2 = 0

Какой способ проще? :-)


2. Многие школьники не любят умножение в «столбик». Никому не нравилось в четвертом классе решать скучные «примеры». Однако перемножить числа во многих случаях можно и без «столбика», в строчку. Это намного быстрее.

385 * 7 = 300 * 7 + 80 * 7 + 5 * 7 = 2100 + 560 + 35 = 2660 + 35 = 2695

18 * 17 = 18 * 10 + 18 * 7 = 180 + 10 * 7 + 8 * 7 = 180 + 70 + 56 = 250 + 56 = 306

Обратите внимание, что мы начинаем не с меньших разрядов, а с бoльших. Это удобно.


3. Теперь – деление. Нелегко «в столбик» разделить 9450 на 2100. Но вспомним, что знак деления : и дробная черта – одно и то же. Запишем 9450 : 2100 в виде дроби и сократим дробь:

9450/2100 = 945/210 = 315/70 = 63/14 = 9/2 = 4,5

Другой пример.

364 : 1040 = 364/1040 = 182/520 = 91/260 = 7/20 = 0,35


4. Как быстро и без всяких столбиков возвести в квадрат двузначное число? Применяем формулы сокращенного умножения:

(а+b)2 = а2 + 2ab + b2

232 = (20+3)2 = 202 + 2 * 20 * 3 + 32 = 400 + 120 + 9 = 529

392 = (30 + 9)2 = 302 + 2 * 30 * 9 + 92 = 900 + 540 + 81 = 1521

442 = (40 + 4)2 = 402 + 2 * 40 * 4 + 42 = 1600 + 320 + 16 = 1936.

Иногда удобно использовать и другую формулу:

(а-b)2 = а2 - 2ab + b2

782 = (80 – 2)2 = 6400 – 320 + 4 = 6084

892 = (90 – 1)2 = 8100 – 180 + 1 = 7201


5. Числа, оканчивающиеся на 5, в квадрат возводятся моментально.

Допустим, надо найти квадрат числа А5 (А - не обязательно цифра, любое натуральное число). Умножаем А на А+1 и к результату приписываем 25. Всё!

Например: 452 = 2025   (4 * 5 = 20 и приписали 25).

652 = 4225   (6 * 7 = 42 и приписали 25).

1252 = 15625   (12 * 13 = 156 и приписали 25).

Этот способ полезен не только для возведения в квадрат, но для извлечения квадратного корня из чисел, оканчивающихся на 25.


6. А как вообще извлечь квадратный корень без калькулятора? Покажем два способа.

Первый способ – разложение подкоренного выражения на множители.

Например, найдем v6561
Число 6561 делится на 3 (так как сумма его цифр делится на 3). Разложим 6561 на множители:

6561 = 3 * 3 * 3 * 3 * 81 = 81 * 81
v6561 = 81

Найдем v2916. Это число делится на 2. На 3 оно тоже делится. Раскладываем 2916 на множители.
v2916 = v2*2*3*3*3*27 = 2*27 = 54

Еще пример.

v4356 = v2*2*3*3*11*11 = 66

Есть и второй способ. Он удобен, если число, из которого надо извлечь корень, никак не получается разложить на множители.

Например, надо найти v5041. Число под корнем – нечетное, оно не делится на 3, не делится на 5, не делится на 7... Можно и дальше искать, на что же оно все-таки делится, а можно поступить проще – найти этот корень подбором.

Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами 70 и 80, поскольку 702 = 4900, 802 = 6400, а число 5041 находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это 7.

Последняя цифра в числе 5041 равна 1. Поскольку 12 = 1,   92 = 81, последняя цифра в ответе – либо 1, либо 9. Проверим:
712 = (70 + 1)2 = 4900 + 140 + 1 = 5041
. Получилось!

Найдем v2809.

502 = 2500,   602 = 3600. Значит, первая цифра в ответе – пятерка.

В числе 2809 последняя цифра – девятка. 32 = 9,   72 = 49. Значит, последняя цифра в ответе – либо 3, либо 9.

Проверим:
532 = (50 + 3)2 = 2500 + 300 + 9 = 2809
.

Если число, из которого надо извлечь квадратный корень, заканчивается на 2, 3, 7 или 8 – значит, квадратный корень из него будет числом иррациональным. Потому что ни один квадрат целого числа не заканчивается на 2, 3, 7 или 8. Помните, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ должен быть записан в виде целого числа или конечной десятичной дроби, то есть должен являться рациональным числом.


7. Квадратные уравнения встречаются нам в задачах В5, В12 и В13 вариантов ЕГЭ, а также в части С. В них нужно считать дискриминант, а затем извлекать из него корень. И совсем не обязательно искать корни из пятизначных чисел. Во многих случаях дискриминант удается разложить на множители.

Например, в уравнении
2х^2 + 90х – 8100 = 0

D = 8100 + 8 * 8100 = 8100 (1 + 8) = 8100 * 9

vD = 90 * 3 = 270


8. Иногда дискриминант удается посчитать по известной формуле сокращенного умножения: a2 - b2 = (a-b)(a+b). Вот, например, такое уравнение вполне может получиться при решении задачи В12:

9х^2 - 37х + 4 = 0

D = b^2 - 4ac = 37^2 - 4 * 9 * 4 = 37^2 - 12^2 = (37-12)(37+12) = 25 * 49

vD = v25*49 = 5*7 = 35


9. Еще одна ситуация, в которой выражение под корнем можно разложить на множители, взята из задачи В4.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 39, один из катетов равен 36, найти второй катет.

По теореме Пифагора, он равен v39^2- 36^2. Можно долго считать в столбик, но проще применить формулу сокращенного умножения.

39^2 - 36^2 = (39 – 36)(39 + 36) = 3 * 75 = 3 * 3 * 25

v3 * 3 * 25 = 3 * 5 = 15


А теперь расскажем самое интересное - из-за чего все-таки выпускники теряют на ЕГЭ драгоценные баллы. Ведь ошибки в вычислениях возникают не просто так.



1. Верный путь к потере баллов - неаккуратные вычисления, в которых что-то исправлено, зачеркнуто, одна цифра написана поверх другой. Посмотрите на свои черновики. Возможно, они выглядят так же? :-)

Пишите разборчиво! Не экономьте бумагу. Если что-то неправильно – не исправляйте одну цифру на другую, лучше напишите заново.


2. Почему-то многие школьники, считая в столбик, стараются сделать это 1) очень-очень быстро, 2) очень мелкими цифрами, в уголке тетради и 3) карандашом. В результате получается вот что:

   

Разобрать что-либо невозможно. Что ж тогда удивляться, что оценка за ЕГЭ ниже, чем ожидали?


3. Многие школьники привыкли игнорировать скобки в выражениях. Иногда встречается и такое:


Помните, что знак равенства ставится не где попало, а только между равными величинами. Пишите грамотно, даже на черновике.



4. Огромное количество вычислительных ошибок связано с дробями. Если вы делите дробь на дробь – пользуйтесь тем, что a/b : c/d = a/b * d/c.

Здесь нарисован «гамбургер», то есть многоэтажная дробь. Крайне сложно при таком способе получить правильный ответ.


Подведем итоги.

Проверка заданий части В – автоматическая. Здесь не бывает «почти правильного» ответа. Либо он правилен, либо нет. Одна вычислительная ошибка – и привет, задача не засчитывается. Поэтому в ваших интересах научиться считать быстро, правильно и без калькулятора.

Задания части С проверяет эксперт. Позаботьтесь о нем! Пусть ему будет понятен и ваш почерк, и логика решения.